حل عددی یک مسئله معکوس برای معادله سهموی مرتبه چهارم همراه با شرط مرزی انتگرالی با استفاده از ماتریس های عملیاتی

نویسنده
کمال راشدی
دانشگاه علم و فناوری مازندران
چکیده
دراین مقاله، مسئله معکوس خطی جهت تقریب عبارت سمت راست یک معادله سهموی مرتبه چهارم مورد مطالعه قرار می گیرد. در این مسئله فرض شده‌است که شرایط مرزی همگن به‌همراه یک شرط انتگرالی روی حوزه زمان و یک شرط موضعی در نقطه‌ای از حوزه مکان معلوم ‌باشند. در گام نخست نشان می‌دهیم که این مسئله دارای جواب یکتا می‌باشد. سپس مسئله اولیه را با استفاده از تبدیلاتی مناسب به یک مسئله جدید تبدیل می‌کنیم که در آن تابع مجهول وابسته به زمان به شرایط مرزی منتقل شده و سپس تقریبی طیفی بر اساس روش ریتز برای بازیابی توابع مجهول ارائه می‌شود. از گسسته‌سازی مسئله با استفاده از ره‌یافت عددی پیشنهاد ‌شده، یک دستگاه جبری از معادلات خطی حاصل می‌شود که برای حل آن از روش منظم‌سازی تیخونوف استفاده شده‌است. نتایج شبیه‌سازی‌های عددی موید دقت قابل قبول و پایداری جواب

تقریبی می‌باشند.
کلیدواژه‌ها
مساله معکوس سهموی مرتبه چهارم
منظم سازی تیخونوف
روش طیفی
پایه های یکا متعامد برنشتاین

عنوان مقاله English

Numerical solution of an inverse problem for fourth order parabolic equation with integral boundary condition using operational matrices

نویسنده English

Kamal Rashedi
University of Science and Technology of Mazandaran
چکیده English



In this article, a linear inverse problem for approximating the right hand side of a fourth order parabolic equation is studied. In this problem, it is assumed that the homogeneous boundary conditions along with an integral condition on the time domain and a local condition at a point of the space domain are known. In the first step, we show that this problem has a unique classical solution. Then, we convert the initial problem into a new problem by using suitable transformations, in which the time-dependent unknown function is transferred to the boundary conditions, and then we provide a spectral approximation based on the Ritz method to detect the unknown functions. The discretization of the problem using the presented technique leads to a system of linear algebraic equations which is solved by employing the Tikhonov's regularization method. The numerical simulation results confirm the acceptable accuracy and stability of the approximate solution.

کلیدواژه‌ها English

Inverse problem of fourth-order parabolic equation
Tikhonov regularization
Spectral method
orthonormal Bernstein basis functions
[1] K. Cao, D. Lenic, M. I. Ismailov, Determination of the time-dependent thermal grooving coefficient, J. Appl. Math. Comput. 65 (2021) 199-221.

[2] W. W. Mullins, Theory of thermal grooving, J. Appl. Phys. 28 (1957) 333-339.

[3] B. B. King, O. Stein, M. Winkler, A fourth-order parabolic equation modeling epitaxial thin film growth, J. Math. Anal. Appl. 28 (2003) 459-490.

[4] J. W. Cahn, J. E. Hilliard, Free energy of a nonuniform system I interfacial free ebergy, J. Chem. Phys. 28 (1958) 258-267.

[5] Y. Kuramato, T. Tsuzuki, On the formation of dissipative structures in reaction-difusion system, Prog. Theor. Phys. 54 (1975) 687-699..

[6] G. I. Sivashinsky, Nonlinear analysis of hydrodynamic instability in laminar flames-I. Derivation of basic equations, Acta. Astronaut. 4 (1977) 1177-1206.

[7] T. A. Kwembe, Existence and uniqueness of global solutions for the parabolic equation of the biharmonic type, Nonlinear Anal. 47 (2001) 1321-1332

[8] A. N. Sandjo, S. Moutari, Y. Gningue, Solutions of fourth-order parabolic equation modeling thin film growth, J. Differ. Equ. 259 (2015) 7060-7283.

[9] G. T. Kossioris, G. E. Zouraris, Fully discrete finite element approximations for a fourth-order linear stochastic parabolic equation with additive space-time white noise, ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 44 (2010) 289-322.

[10] R. K. Mohanty, S. Mckee, D. Kaur, A class of two-level implicit unconditionally stable methods for a fourth order parabolic equation, Appl. Math. Comput. 309 (2017) 272-280.

[11] T. Aziz, K. Arshad, R. Jalil, Spline methods for the solution of fourth-order parabolic partial differential equations, Appl. Math. Comput. 167 (2005) 153-166.

[12] K. Rashedi, A spectral method based on Bernstein orthonormal basis functions for solving an inverse Rosenau equation, Comput. Appl. Math. 214 (2022) Doi: https://doi.org/10.1007/s40314-022-01908-0

[13] S. A. yousefi, Finding a control parameter in a one dimensional parabolic inverse problem by using the Bernstein Galerkin Method, Inverse Probl. Sci. Eg. 17 (2009) 821-828.

[14] S. A. Yousefi, M. Behroozifar, M. Dehghan, The operational matrices of Bernstein polynomials for solving the parabolic equation subject to specification of the mass, J. Comput. Appl. Math. 235 (2011) 5272–5283.

[15] K. Rashedi, A numerical solution of an inverse diffusion problem based on operational matrices of orthonormal polynomials, Math. Method. Appl. Scie. 44 (2021) 12980-12997.

[16] H. Dehestani, Y. ordokhani, M. Razzaghi, Pseudo-operational matrix method for the solution of variable-order fractional partial integro-differentoial equations, Eng. Comput. Germany, 37 (2021) 1791–1806.

[17] P. C. Hansen, Analysis of discrete ill-posed problems by means of the L-curve, SIAM Review, 34 (1992) 561-580.

[18] P. C. Hansen, D. P. O’leary, The use of the L-curve in the regularization of discrete ill-posed problems, SIAM J. Sci. Comput. 14 (1993) 1487-1503.

[19] A. Kirsch, An introduction to the mathematical theory of inverse problems, Springer, 2011.

[20] K. Rashedi, H. Adibi, M. Dehghan, Application of the Ritz-Galerkin method for recovering the spacewise-coefficient in the wave equation, Comput. Math. Appl. 65 (2013) 1990-2008.