کاربرد توابع کلاهی در حل معادلات دیفرانسیل تأخیری کسری

نویسندگان
سمیه نعمتی
زهرا زضائی کلانسرا
دانشگاه مازندران
چکیده
در این مقاله، با استفاده از یک روش جدید بر اساس توابع کلاهی تعمیم یافته به حل عددی دسته‌ای از معادلات دیفرانسیل تأخیری کسری می‌پردازیم که مشتق کسری در آن‌ها از نوع کاپوتو در نظر گرفته می‌شود. ابتدا، به معرفی توابع کلاهی تعمیم یافته و ماتریس‌های عملیاتی متناظر با این توابع می‌پردازیم. سپس، برای حل مسأله مورد نظر، توابع موجود در آن با استفاده از توابع پایه‌ای تقریب زده می‌شوند. با بکارگیری خواص توابع کلاهی تعمیم یافته، مشتق کسری کاپوتو و انتگرال کسری ریمان-لیوویل، دستگاهی از معادلات جبری حاصل می‌شود که با حل آن ضرایب مجهول تعیین می‌شود. با جایگذاری مقادیر حاصل، تقریبی از جواب مسأله بدست می‌آید. به‌علاوه، پیچیدگی محاسباتی دستگاه‌ حاصل بررسی می‌شود. در ادامه، تحلیل خطای روش مورد بررسی قرار می‌گیرد. در پایان، با ار‏ائه دو مثال کارایی و دقت روش پیشنهادی نشان داده می‌شود.
کلیدواژه‌ها
معادلات دیفرانسیل تأخیری کسری
مشتق کسری کاپوتو
توابع کلاهی تعمیم یافته
ماتریس‌ عملیاتی انتگرال کسری
ماتریس عملیاتی تأخیر

عنوان مقاله English

Application of hat functions in solving fractional delay differential equations

نویسندگان English

Somayeh Nemati
Zahra Rezaei Kalansara
University of Mazandaran
چکیده English

In this paper, using a new method based on the generalized hat functions, we solve a class of fractional delay differential equations in which the fractional derivative is considered in the sense of Caputo. First, we introduce the generalized hat functions and their corresponding operational matrices. Then, in order to solve the considered problem, the existing functions are approximated using the basis functions. By employing the properties of generalized hat functions, the Caputo fractional derivative and the Riemann-Liouville fractional integral, a system of algebraic equations is obtained which by solving it, the unknown coefficients are determined. By substituting the resulting values, an approximation of the solution of the problem is obtained. In addition, the computational complexity of the resulting system is investigated. In continue, an error analysis of the method is given. Finally, the accuracy and efficiency of the proposed method are shown by presenting two examples.

کلیدواژه‌ها English

fractional delay differential equations
Caputo fractional derivative
Generalized hat functions
Operational matrix of fractional integral
Delay operational matrix
[1] Bhrawy A. H., Taha T. M., Machado J. A. T., "A review of operational matrices and spectral techniques for fractional calculus", Nonlinear Dynam., 81 (2015) 1023-1052.

[2] Moghaddam B. P., Mostaghim Z. S., "A novel matrix approach to fractional finite difference for solving models based on nonlinear fractional delay differential equations", Ain Shams Eng. J., 5 (2014), 585 – 594.

[3] Heris M. S., Javidi M., "On fractional backward differential formulas methods for fractional differential equations with delay", ‎Int‎. ‎J‎. ‎Appl‎. ‎Comput‎. ‎Math‎., 4 (2018) 1-15.

[4] Muthukumar P., Ganesh Priya B., "Numerical solution of fractional delay differential equation by shifted Jacobi polynomials", ‎Int‎. ‎J‎. ‎Comput‎. ‎Math‎., 94 (2017) 471-492.

[5] Iqbal M. A., Saeed U., Mohyud-Din S. T., "Modified Laguerre wavelets method for delay differential equations of fractional-order", ‎Egypt. J‎. Basic Appl‎. ‎Sci‎., 2 (2015) 50-54.

[6] Rahimkhani P., Ordokhani Y., Babolian E., "A new operational matrix based on Bernoulli wavelets for solving fractional delay differential equations", Numer. Algorithms, 74 (2017) 223-245.

[7] Shi L., Chen Z., Ding X., Ma Q., "A new stable collocation method for solving a class of nonlinear fractional delay differential equations", Numer. Algorithms, 85 (2020) 1123-1153.

[8] Nemati S., Torres D. F., "A new spectral method based on two classes of hat functions for solving systems of fractional differential equations and an application to respiratory syncytial virus infection", Soft Comput‎., 25 (2021) 6745-6757.

[9] Tripathi M. P., Baranwal V. K., Pandey R. K., Singh O. P., "A new numerical algorithm to solve fractional differential equations based on operational matrix of generalized hat functions", Nonlinear Sci. Numer. Simul., 18 (2013) 1327-1340.

[10] نعمتی سمیه و اردوخانی یدالله، حل عددی مسائل کنترل بهینه کسری تأخیری با استفاده از توابع کلاهی بهبود یافته، پژوهش‌های ریاضی شماره 2، نشریه علوم دانشگاه خوارزمی (1397).

[11] Morgado M. L., Ford N. J., Lima P. M., "Analysis and numerical methods for fractional differential equations with delay", J. Comput. Appl. Math., 252 (2013) 159-168.

[12] Kruse R., "Strong and weak approximation of semilinear stochastic evolution equations", Vol. 2093. Springer (2013).