نتیجه‌ای درباره قطر جبرهای باناخ عملگری انقباض‌پذیر

نویسنده
میثم میثمی صدر
دانشکده ریاضی - دانشگاه تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان
چکیده
به یک جبر باناخ A انقباض‌پذیر گفته می‌شود هرگاه به ازای هر A-دومدول باناخ E، هر اشتقاق پیوسته از A به E درونی باشد. مفهوم انقباض‌پذیری در مبحث کوهمولوژی و میانگین‌پذیری جبرهای باناخ ظاهر می‌گردد. تنها جبرهای باناخ انقباض‌پذیری که تا کنون شناخته شده اند، از بعد متناهی هستند. درواقع، یکی از قدیمی‌ترین حدس‌ها در این مبحث، عدم وجود جبرهای باناخ انقباض‌پذیر با بعد نامتناهی است. حالت خاص این حدس، که آن نیز هنوز بی‌پاسخ است، می‌‌گوید که برای یک فضای باناخ X اگر B(X)، جبر باناخ همه عملگرهای خطی و پیوسته روی X، انقباض‌پذیر باشد آنگاه X از بعد متناهی است. براساس نتیجه ای شناخته شده، یک جبر باناخ A انقباض‌پذیر است اگر و فقط اگر عنصر ویژه‌ای به‌نام قطر در A⊗π A، حاصلضرب تانسوری تصویری A با خودش، موجود باشد. در این یادداشت کوتاه، نشان می‌دهیم که اگر X از بعد نامتناهی باشد و B(X) انقباض‌پذیر باشد، آنگاه تصویر هر قطر B(X)، تحت نگاشت کانونی، در B(X⊗π X) برابر با عملگر صفر است. برای اثبات از برآورد معروف کدک-اسنوبار درباره نرم عملگرهای تصویرگر روی زیرفضاهای با بعد متناهی، استفاده می‌کنیم. امیدواریم که دانستن چنین ویژگی قطر و روشی که در این یادداشت ارائه می‌کنیم، در آینده منجر به حل شدن حدس متناهی بعد بودن X شود.



کلیدواژه‌ها
جبر باناخ
انقباض‌پذیری
قطر
جبر عملگرهای خطی و کراندار
میانگین‌پذیری

عنوان مقاله English

A Result on the diagonal of contractible operator Banach algebras

نویسنده English

Maysam Maysami Sadr
Department of Mathematics
چکیده English

A Banach algebra A is called contractible if for any Banach A-bimodule E, every continuous derivation from A into E is inner. One of the oldest unconfirmed conjectures in amenability says that every contractible Banach algebra is finite dimensional. It is well-known that a Banach algebra A is contractible if and only if its unital and has a diagonal, that is a member M in the Banach algebra A⊗πA such that satisfies in ∆(M)=1 and a⊗1M=M(1⊗a) for every a in A. In this note we show that any diagonal of a contractible Banach algebra of operators on an infinite dimensional Banach space has a specific null property.

کلیدواژه‌ها English

Banach algebra
contractibility
diagonal
algebra of bounded linear operators
Amenability
1. Gronbaek N., “Various notions of amenability, a survey of problems’’, Proceedings of 13th International Conference on Banach Algebras in Blaubeuren, 1997, Walter de Gruyter, Berlin, (1998) 535-547.

2. Fabian M., Habala P., Hajek P., Montesinos V., and Zizler V., “Banach space theory: The basis for linear and nonlinear analysis’’, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011.

3. Johnson B.E., “Cohomology in Banach algebras’’, Memoirs of the American Mathematical Society, vol. 127, 1972.

4. Mewomo O.T., “Various notions of amenability in Banach algebras’’, Expositiones Mathematicae 29, (2011) 283-299.

5. Runde V., “Lectures on amenability’’, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002.

6. Runde V., “Amenable Banach algebras’’, Springer Monographs in Mathematics, Science+Business Media, Berlin, 2020.

7. Ryan R.A., “Introduction to tensor products of Banach spaces’’, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, London, 2002.