احتمال ورشکستگی زمان متناهی در مدل مخاطره جمعی شرکت بیمه با استفاده از زنجیر مارکوف زمان-پیوسته

نویسنده
ابوذر بازیاری
گروه آمار، دانشکده سیستم‌های هوشمند و علوم داده‌ها، دانشگاه خلیج فارس
چکیده
توانایی در پرداخت خسارت­های بیمه­ گذاران یکی از مباحث مهم در مدیریت شرکت­های بیمه است. در این مقاله، مدل مخاطره جمعی شرکت بیمه با حق بیمه ثابت و دارای فرآیند پواسن مرکب در یک دوره زمانی در نظر گرفته شده است. برای یک کلاس کلی از اندازه­های خسارت با توزیع­های دم سبک و سنگین، فرمولی برای محاسبه احتمال ورشکستگی زمان متناهی با استفاده احتمال انتقال به­ دست آمده و سپس فرم ماتریسی فرمول ارایه شده توسط ماتریس انتقال و ماتریس مولد زنجیر مارکوف پیوسته زمان بازنویسی شده است. همچنین با استفاده از مسیرهای شبیه ­سازی شده از فرآیند مخاطره برای اندازه­های خسارت با توزیع­های نمایی، نرمال و پارتو با مقادیر مختلف سرمایه اولیه در زمان­های متفاوت ضمن محاسبه احتمالات ورشکستگی زمان متناهی با این روش و یافتن فواصل اطمینان نااریب، مقادیر آنها برای هر دو ماتریس انتقال و ماتریس مولد زنجیر مارکوف برآورد شده ­اند.



کلیدواژه‌ها
احتمال ورشکستگی زمان متناهی
احتمال انتقال
فرآیند مارکوف پیوسته زمان
فرآیند مخاطره
مدل مخاطره جمعی

عنوان مقاله English

Finite Time Ruin Probability in the Collective Risk Model using Continuous Time Markov Chain

نویسنده English

Abouzar Bazyari
Department of Statistics, Persian Gulf University, Bushehr, Iran
چکیده English

The ability of insurers to pay claims is one of the most important issues in the management of insurance companies. In this paper, the collective risk model of insurance company with constant premium and compound Poisson process over a period of time is considered. For a general class of claim sizes with light tailed and heavy tailed distributions, a formula for computing the finite time ruin probability is obtained using the probability transformation, then the matrix form of the presented formula by the transformation matrix and continuous time Markov chain generating matrix is rewritten. Also, using simulation paths from the risk process for claim sizes with Exponential, Normal and Pareto distributions with different values of initial reserve at the different times, in addition to compute the finite time ruin probabilities and unbiased confidence intervals, their values estimated for transformation matrix and Markov chain generating matrix.

کلیدواژه‌ها English

Collective risk model
Continuous time Markov process
Finite time ruin probability
Probability transformation
Risk process
منابع

بازیاری، ا. و پرهام، غ. ع. (1387)، پیدایش فرآیندهای مخاطره و بررسی مدل‌های مربوط به آن برای محاسبه احتمالات ورشکستگی، نهمین کنفرانس آمار ایران، مجموعه مقالات منتخب، 46-61، دانشگاه اصفهان.

بازیاری، ا.، (1391)، احتمال ورشکستگی فرآیند مخاطره انفرادی شرکت بیمه با خسارتهای وابسته، مجله علوم آماری، (1)6، 37-21.

بازیاری، ا.، (1396)، تحلیل احتمال ورشکستگی زمان نامتناهی در مدل مخاطره جمعی، مجله علوم آماری، (1)11، 36-17.

رنگینیان، ز.، به‌فروز، م. و بازیاری، ا. (1397)، نقدی بر استفاده از خسارت‌های دارای توزیع پارتو در مدل‌های مخاطره شرکت بیمه، مجله علوم آماری، (2)12، ۴۴۷-۴۲۹.



Asimit, A. V. and Badescu, A. L., Extremes on the discounted aggregate claims in a time dependent risk model, Scandinavian Actuarial Journal, (2010), 2, 93–104.



Badescu, A. L., Cheung, E. C. K. and Landriault, D., Dependent risk models with bivariate phase-type distributions, Journal of Applied Probability, (2009), 46, 113–131.



Bazyari, A. and Roozegar, R., Finite time ruin probability and structural density properties in the presence of dependence in insurance risk model, Communications in Statistics, Theory and Methods, (2019), 48(5), 1284–1304.



Bernackaitė, E., and Šiaulys, J., The finite-time ruin probability for an inhomogeneous renewal risk model, American institute of mathematical sciences, (2017), 13(1), 207–222.



Boudreault, M., Cossette, H., Landriault, D. and Marceau, E., On a risk model with dependence between interclaim arrivals and claim sizes, Scandinavian Actuarial Journal, (2006), 5, 265–285.



Burnecki, K., Miśta, P. and Weron, A., Ruin Probabilities in Finite and Infinite Time, Statistical Tools for Finance and Insurance, Springer. (2005).

Cai, J. and Dickson, D. C. M., Ruin probabilities with a Markov chain interest model, Insurance: Mathematics and Economics, (2004), 35, 513–525.



Chen, Y., Yuen, K. C. and Ng, K. W., Precise large deviations of random sums in presence of negative dependence and consistent variation, Methodology and Computing in Applied Probability, (2011), 13, 821–833.



Choi, S. K., Choi, M. H., Lee, H. S. and Lee, E. Y., New approximations of ruin probability in a risk process, Quality Technology and Quantitative Management, (2010), 7(4), 377–383.



Cramer, H., On the Mathematical Theory of Risk, Skandia Jubilee Volume, Stockholm, (1930).



De Vylder, F. E., Advance Risk Theory, Edition de I'University de ruxelles, (1996).



Dong, X. T., Huy, T. N. and Kirane, M., Regularization and error estimate of infinite time ruin probabilities for Cramer–Lundberg model, Mathematical methods in applied sciences, (2018), 41(10), 3820–3831.



Eryilmaz, S. and Gebizlioglu, O. L., Computing finite time non-ruin probability and some joint distributions in discrete time risk model with exchangeable claim occurrences, Journal of Computational and Applied Mathematics, (2017), 313, 235–242.



Ignatov, Z. G., Kaishev, V. K. and R. S. Krachunov, An improved finite-time ruin probability formula and its Mathematica implementation, Insurance: Mathematics and Economics, (2001), 29(3), 375–386.



Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K., A finite-time ruin probability formula for continuous claim severities, Journal of Applied Probability, (2004), 41(2), 570–578.



Kasozi, J. and Paulsen, J., Numerical ultimate ruin probabilities under interest force, Journal of Mathematics and Statistics, (2005), 1(3), 246–251.



Lee, W. Y., Li, X., Liu, F., Shi, Y. and Yam, S. C. P., A Fourier-cosine method for finite-time ruin probabilities, Insurance: Mathematics and Economics, (2021), Forthcoming.



Leipus, R. and Šiaulys, J., Asymptotic behaviour of the finite-time ruin probability in renewal risk models, Applied Stochastic Models in Bussines and Industry, (2009), 25, 309–321.



Lehtonen, T. and Nyrhinen, H., On asymptotically efficient simulation of ruin probabilities in a Markovian environment, Scandinavian Actuarial Journal, (1992), 1992(1), 60–75.



Li, S., Lu, Y., Garrido, J., A review of discrete-time risk models, Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales-Serie A. Matemáticas, (2009), 103(2), 321–337.



Lundberg, F., I. Approximerad Framstallning av Sannohkhetsfunktionen. II. Aterforsakering av Kollektivrisker, Almqvist and Wiksell, Uppsala, (1903).



Lu, Yi and Li, S., On the probability of ruin in a Markov-modulated risk model, Insurance: Mathematics and Economics, (2005), 37, 522–532.



Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V. and Teugels, J., Stochastic Processes for Insurance and Finance, John Wiley and Sons, New York, (1999).



Santana, D., González, J., and Rincón, L., Approximations of the ultimate ruin probability in a risk process using Erlang mixtures, Methodology and Computing in Applied Probability, (2017), 19(3), 775–798.



Wang, Y., Cui, Z., Wang, K. and Ma, X., Uniform asymptotics of the finite-time ruin probability for all times, Journal of Mathematical Analysis and Applications, (2012), 390(1), 208–223.



Wat, K. P., Yuen, K. C., Li, W. K. and Wu, X., On the compound binomial risk model with delayed claims and randomized dividends, Risks, MDPI, (2018), 6(1), 1–13.



Yang, Y., Ma, X. and Lin, J. G., Approximation for the finite-time ruin probability of a general risk model with constant interest rate and extended negatively dependent heavy-tailed claims, Mathematical Problems in Engineering, (2011), 1–14.



Yuen, K. C., Li, J. and Wu, R., On a discrete-time risk model with delayed claims and dividends, Financial Derivatives and Risk Models, (2013), 4(1), 3–16.