تحلیل انشعاب‌ های هم بعد یک و دو از یک مدل شکار- شکارچی گسسته زمان

نویسندگان
جواد علیدوستی 1
زهره اسکندری 2
1 دانشگاه شهرکرد
2 دانشگاه فسا
چکیده
در این مقاله رفتار دینامیکی یک سیستم شکار و شکارچی گسسته را بررسی می کنیم. ابتدا شرایط لازم و کافی وجود نقاط ثابت از این مدل را بررسی می کنیم. سپس تمامی انشعابات ممکن از هم بعد یک مانند انشعاب تبادل پایداری، ﻓﻠﯿﭗ ﻭ

ﻧﺎیمارک-ﺳﺎﮐﺮ را به کمک نظریه ی منیفلد مرکز و فرم نرمال بررسی می کنیم. در ادامه کلیه ی انشعاب های هم بعد دو از این مدل مانند انشعاب رزونانس های قوی ‎$1:2$‎، ‎$1:3$‎ و ‎$ 1:4 $‎ را بررسی خواهیم کرد. شبیه سازی عددی و روش امتداد عددی نه تنها نتایج تحلیلی ما را تایید می کند بلکه رفتار مدل را در تکرار های بالاتر مانند تکرار های چهارم و هشتم را آشکار می سازد. رفتارهای تناوبی, شبه تناوبی, آشوبی, هم زیستی جاذبه های آشوبی و ... از این مدل در این شبیه سازی نمایان می شود که نشان دهنده ی رفتار غنی مدل است.
کلیدواژه‌ها
‎ فلیپ
تبادل پایداری
ﻧﺎیمارک-ﺳﺎﮐﺮ
رزونانس
پایداری
مدل شکار و شکارچی

عنوان مقاله English

Codimension one and two bifurcation analysis in discrete predator-prey model

نویسندگان English

Javad Alidousti 1
Zohreh Eskandari 2
1 Shahrekord University
2 Fasa University
چکیده English

This paper studies the dynamical behavior of a discrete-time predator-prey analytically and numerically. The conditions and the critical coefficients for the transcritical, flip (period-doubling), and Neimark-Sacker are computed by using the center manifold and normal form technique. Besides, codimension-two bifurcations including strong resonances 1:2, 1:3, and 1:4 have been achieved. The numerical simulation and continuation method, not only confirm our analytical results but also reveals richer dynamics of the model, especially in the higher iteration.

کلیدواژه‌ها English

Flip
transcritical
Neimark -Sacker
Resonance
Stability
Predator-prey model
[1] J. Ren, L. Yu, and S. Siegmund, Bifurcations and chaos in a discrete predator-prey model with Crowley–Martin functional response, Nonlinear Dyn. 90, (2017), 427-446

[2] G. P. Neverova. L. Zhdanova, Bapan Ghosh, and Ya. Frisman, Dynamics of a discrete-time stage-structured predator-prey system with Holling type II response function, Nonlinear Dyn. 98, (2019), 427-446.

[3] X. Liu, and C. Wang, Bifurcation of a predator-prey model with disease in the prey, Nonlinear Dyn. 62, (2010), 841–850.

[4] U. Saeed, I. Ali, and Q. Din, Neimark–Sacker bifurcation and chaos control in discrete-time predator-prey model with parasites, Nonlinear Dyn. 94, (2018), 2527–2536.

[5] J. Maynard Smith, Mathematical Ideas in Biology, Cambridge University Press. (1968).

[6] R. J. Sacker, H. F. Von Bremen, A new approach to cycling in a 2-locus 2-allele genetic model, J. Difference. Equ. Appl. 9.5, (2003), 441-448.

[7] D. Summers, C. Justian, H. Brian, Chaos in periodically forced discrete-time ecosystem models, Chaos. Soliton. Frac. 11, (2000), 2331-2342.

[8] M. Danca, S. Codreanu, B. Bako, Detailed analysis of a nonlinear prey-predator model, J. Biol. Phys. 23, (1997), 11-20.

[9] S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos, Springer-Verlag. New York. 2, (2003).

[10] S. N. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag. New York. (1996).

[11] A. Q. Khan, Neimark-Sacker Bifurcation of a Two-dimensional Discrete-Time Predator-Prey Model, SpringerPlus. (2016).

[12] S. Kartal, Mathematical modeling and analysis of tumor-immune system interaction by using Lotka-Volterra predator-prey like model with piecewise constant arguments, Period. Eng. Natural. Sci. 2.1, (2014), 7-12.

[13] Q. Din, Complexity and choas control in a discrete-time prey-predator model, Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simul. 49, (2017), 113-134.

[14] Q. Din, A novel chaos control strategy for discrete-time Brusselator models, J. Math. Chem. 56.10, (2018), 3045-3075.

[15] Q. Din and M. Hussain, Controlling chaos and Neimark–Sacker bifurcation in a host-parasitoid model, Asian. J. Control. 21.4, (2019), 1-14.

[16] J. Zhang, T. Deng, Y. Chu, S. Qin, W. Du and H. Luo, Stability and bifurcation analysis of a discrete predator-prey model with Holling type III functional response, J. Nonlinear. Sci. Appl. 9, (2016), 6228-6243.

[17] H. N. Agiza and E. M. Elabbssy, Chaotic dynamics of a discrete prey-predator model with Holling type II, Nonlinear. Anal. Real. 10, (2009), 19-41.

[18] Q. Fang, X. Li and M. Cao, Dynamics of a discrete predator-prey system with Beddington-DeAngelis function response, Appl. Math. 3, (2012), 389-394.

[19] A. N. W. Hone, M. V. Irle and G. W. Thurura, On the Neimark-Sacker bifurcation in a discrete predator-prey system, J. Biol. Dyn. 4, (2010), 594-606.

[20] K. Murakami, Stability and bifurcation in a discrete-time predator-prey model, J. Differ. Equ. Appl. 13, (2007), 911-925.

[21] He, Zhimin, and Xin Lai. ”Bifurcation and chaotic behavior of a discrete-time predator-prey system.” Nonlinear Analysis: Real World Applications 12.1 (2011): 403-417.

[22] Chen, Xian-wei, Xiang-ling Fu, and Zhu-jun Jing. ”Dynamics in a discrete-time predator-prey system with Allee effect.” Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series 29.1 (2013): 143-164.

[23] Zhao, Ming, Zuxing Xuan, and Cuiping Li. ”Dynamics of a discrete-time predator-prey system.” Advances in Difference Equations 2016.1 (2016): 191.

[24] Y. A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory. Springer Science and Business Media. 112, (2013).

[25] Govaerts, W., Ghaziani, R. K., Kuznetsov, Y. A., & Meijer, H. G. (2007). Numerical methods for two-parameter local bifurcation analysis of maps. SIAM journal on scientific computing, 29(6), 2644-2667.