مساله مقدار مرزی شوارتز از معادلات دیفرانسیل جزئی مختلط برای معادله کشی-ریمان ناهمگن در یک مثلث متساوی الاضلاع

نویسندگان
فاطمه جوینی
مژگان اکبری
دانشگاه گیلان
چکیده
در این مقاله مساله مقدار مرزی شوارتز از معادلات دیفرانسیل جزئی مختلط را برای معادله کشی–ریمان ناهمگن روی یک دامنه چند ضلعی با نقاط گوشه­ ای معلوم یعنی مثلث متساوی الاضلاع، به­ طور دقیق پیشنهاد می­ دهیم. با به­ کار گیری روش بازتاب پارکتینگ و انتخاب یک نقطه­ ی دلخواه از مثلث متساوی الاضلاع مورد نظر و بازتاب های مکرر آن در تمام بخش­ های مرزی از مثلث متساوی الاضلاع تمام صفحه­ ی مختلط پوشش داده می­ شود. علاوه بر این، ابزار اساسی برای حل مساله مقدار مرزی شوارتز از معادلات دیفرانسیل جزئی مختلط برای معادله کشی-ریمان، فرمول نمایش انتگرال کشی-پمپیو است. بدین ترتیب با استفاده از روش بازتاب پارکتینگ و فرمول نمایش انتگرالی کشی–پمپیو یک فرمول نمایش انتگرالی شوارتز-پواسون را روی مثلث متساوی الاضلاع و بخش­ های مرزی مختلف آن به­ طور دقیق محاسبه می­­ کنیم. هم­ چنین، رفتارهای مرزی برای عملگر از نوع شوارتز را مورد بررسی قرار می­ دهیم. سرانجام جواب دقیقی را برای مساله مقدار مرزی شوارتز از معادلات دیفرانسیل جزئی مختلط برای معادله کشی-ریمان ناهمگن روی مثلث متساوی الاضلاع ارائه می­ دهیم.
کلیدواژه‌ها
مساله شوارتز
فرمول کشی-پمپیو
فرمول شوارتز-پواسون
مثلث متساوی الاضلاع

عنوان مقاله English

Schwarz boundary value problem of complex partial differential equations for the inhomogeneous Cauchy-Riemann equation in the equilateral triangle

نویسندگان English

Fatemeh Joveini
Mozhgan Akbari
University of Guilan
چکیده English

In this paper, we explicitly investigate the Schwarz boundary value problem of complex partial differential equations for an inhomogeneous Cauchy-Riemann equation on a polygon domain with distinct points of the equilateral triangle. By applying the technique of parquet reflection and selecting an arbitrary point of the equilateral triangle and its repeated reflections in all parts of the boundary, full page of complex spaces covered. In addition, the fundamental tool for solving the Schwarz boundary value problem from the complex partial differential equations for the Cauchy-Riemann equation is the Cauchy–Pompeiu integral representation formula. Thus, using the technique of parquet reflection and the Cauchy–Pompeiu integral representation formula, we accurately calculate the Schwarz-Poisson integral representation formula on the equilateral triangle and its different boundary portions. We also consider boundary behaviors of the Schwarz-type operator. Finally, we give an exact answer for the Schwarz boundary value problem of complex partial differential equations for an inhomogeneous Cauchy-Riemann equation on the equilateral triangle.

کلیدواژه‌ها English

Schwarz problem
Cauchy-Pompeiu formula
Schwarz-Poisson formula
Equilateral triangle
1. Riemann B., "Gesammelte mathematisch Werke", herausgegeben von H. Weber, zweiteAuflage, Leipzig (1892).

2. Hilbert D., "Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen", Chelsea (1953).

3. Gakhov F.D., "Boundary Value Problems", Pergamon Press, Oxford (1966).

4. Muskhelishvili N.I., "Singular Integral Equations", Noordhoff, Groningen (1953).

5. Vekua I.N., "Generalized Analytic Functions", International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, Pergamon Press, Oxford (1962).

6. Haack W., Wendland W., "Lectures on Plaffian differential equations", Pergamon Press, Oxford (1972).

7. Jianke L., "Boundary Value Problems for Analytic Functions", World Scientific, Singapore (1993).

8. Muskhelishvili N.I., "Singular Integral Equations", second ed., Noordhoff, Groningen (1968).

9. Fokas A.S., "A Unified Approach to Boundary Value Problem", CBMS-NSF Regional Conf. Ser. in Appl. Math, 78, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia (2008).

10. Begehr H., Hile G.N., "A hierarchy of integral operators", Rocky Mountain J. Math. 27 (1997) 669-706.

11. Begehr H., "Boundary value problems in complex analysis", I, Bol. Asoc. Mat. Venez, 12 (2005) 65–85; II, Bol. Asoc. Mat. Venez. 12 (2005) 217–250.

12. Begehr H., "Complex Analytic Methods for Partial Differential Equations: An Introductory Text", World Scientific, Singapore (1994).

13. Wang Y., "Schwarz-type boundary value problems for the polyanalytic equation in the half unit disc", Complex Variables and Elliptic Equations: An International Journal, 57 (2012) 983–993.

14. Vaitekhovich T., "Boundary value problems for complex partial differential equations in a ring domain", PhD thesis, FU Berlin, (2008). Available from: www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS-thesis 000000003859.

15. Begehr H., Vaitekhovich T., "Harmonic boundary value problems in half disc and half ring", Functionset Approximatio, 40 (2009) 251–282.

16. Costache M.R., "Basic boundary value problems for the Cauchy-Riemann and the Poisson equations in a quarter disc", Master thesis, Scoala Naormala Superioara Bucharest, Depart. of Math (2009).

17. Shupeyeva B., "Some Basic Boundary Value Problems for Complex Partial Differential Equations in Quarter Ring and Half Hexagon", PhD thesis, FU Berlin (2013). Available from: www.diss.fuberlin.de/diss/receive/FUDISS-thesis-000000094596.

18. Wang, Y., "Boundary value problems for complex partial differential equations in fanshaped Domains", PhD thesis, FU Berlin (2011). Available from: www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS-thesis-000000021359.

19. Akel M.S., Hussein H.S., "Two basic boundary value problems for inhomogeneous Cauchy-Riemann equation in an infinite sector", Adv. Pure and Appl. Math. 3 (2012) 315–328.

20. Begehr H., Vaitekhovich T., "Schwarz problem in lens and lune", Complex Variables and Elliptic Equations, 59 (2014) 76–84.

21. Joveini F., Akbari M.., "Schwarz problem in lens and half lens", Eurasian Math. J. 10(2) (2019) 49–64.

22. Gartner E., "Basic complex boundary value problems in the upper half plane", PhD thesis, FU Berlin (2006). Available from: www.diss.fu-berlin.de/diss/receive/FUDISS thesis 000000002129.

23. Abdymanapov S.A., Begehr H., Tungatarov A.B., "Some Schwarz problems in a quarter plane", Eurasian Math Journal, 3 (2005) 22-35.

24. Begehr H., Vaitekhovich T., "Harmonic Dirichlet problem for some equilateral triangle", Complex Variables and Elliptic Equations, 57 (2012) 185-196.

25. Wang Y.F., Wang Y.J., "Schwarz-type problem of nonhomogeneous Cauchy-Riemann equation on a triangle", J. Math. Anal. Appl. 377 (2011) 557-570.

26. Joveini F., Akbari, M. "Schwarz boundary value problem on a triangle", Casp. J. Math. Sci.

9(2) (2020) 266-283.

27. Wang Y., Zhao X., "Schwarz boundary value problem for the Cauchy-Riemann equation in a rectangle", Boundary Value Problems, 7 (2016) 1-12.

28. Begehr H., Vaitekhovich T., "Green functions, reflections and plane parqueting", Euras. Math. Journal, 1 (2010) 17-31.

29. Begehr H., Vaitekhovich T., "Green functions, reflections and plane parqueting", Euras. Math. Journal, 2, (2011) 139-142.
پژوهش های ریاضی
دوره 9، شماره 2 - شماره پیاپی 25
تابستان 1402
صفحه 243-256