حل معادلات انتگرال دیفرانسیل کسری با استفاده از توابع ژاکوبی کسری

نویسندگان
زهرا دلخوش
مریم عرب عامری
دانشگاه سیستان و بلوچستان
چکیده
در این مقاله قصد داریم الگوریتمی عددی برای محاسبه جواب تقریبی معادلات انتگرال دیفرانسیل کسری فردهلم، ولترا و فردهلم ولترای خطی و غیر خطی ارائه کنیم. در روش مورد نظر تقریب جواب معادله بر حسب چندجمله‌ای‌های ژاکوبی کسری انجام می‌شود، بدین ترتیب که ابتدا ماتریس عملیاتی کسری چندجمله‌ای‌های ژاکوبی کسری بدست می‌آید، سپس با به کار بردن این ماتریس و روش کمترین مربعات، حل معادله اولیه را به حل یک دستگاه معادلات جبری تبدیل می کنیم. برای حل دستگاه به دست آمده ی نهایی از روش تکراری نیوتون بهره می جوییم. در مرحله ی بعد به تحلیل رفتار همگرایی جواب تقریبی می پردازیم، سپس برای تصدیق مباحث تئوری چند مثال عددی را مورد بررسی قرار می دهیم. نتایج بدست آمده حاکی از دقت و کارایی روش است. مزیت این روش جامعیت آن است، که حالت کسری چند جمله ای های لژاندر و انواع چبیشف را در بر می گیرد، همچنین برای معادلات انتگرال دیفرانسیل خطی و غیر خطی به راحتی قابل استفاده است و نتایج خوبی را ارائه می دهد.
کلیدواژه‌ها
ماتریس عملیاتی
روش کمترین مربعات
چندجمله ای های متعامد
بهترین تقریب

عنوان مقاله English

Solving the fractional order integro-differential equations using fractional Jacobi functions

نویسندگان English

Zahra Delkhoush
Maryam Arabameri
University of Sistan and Baluchestan
چکیده English

In this paper, we are intend to present a numerical algorithm for computing approximate solution of linear and nonlinear Fredholm, Volterra and Fredholm-Volterra integro-differential equations. The approximated solution is written in terms of fractional Jacobi polynomials. In this way, firstly we define Riemann-Liouville fractional operational matrix of fractional order Jacobi polynomials, then by using this matrix and the least squares method the solution of equation reduce to a system of algebraic equations which is solved through the Newton’s iterative method. In the next step we analyze convergence of the solution, and then to confirm the theoretical issue we examine some numerical examples. The results indicate the accuracy and efficiency of the method. The excellence of this method is its generality, which includes the fractional order Legendre and Chebyshev polynomials. Also it is also easy to use for linear and nonlinear integro-differential equations and provides good results.

کلیدواژه‌ها English

Operational matrix
Least squares method
Orthogonal polynomials
Best approximation
A. Mahdy, "Numerical studies for solving fractional integro_differential equations," Journal of Ocean Engineering and Science, vol. 3, pp. 127-132, 2018.

P. Rahimkhani, Y. Ordokhani and E. Babolian, "Fractional-order Bernoulli functions and their applications in solving fractional Fredholem_Volterra integro_differential equations," Applied Numerical Mathematics, vol. 122, pp. 66-81, 2017.

A. Mohebbi, "Crank-Nicolson and Legendre spectral collocation methods for a partial integro-differential equation with singular kernel," Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 349, pp. 197-206, 2019.

F. Fakhr-Izadi and M. Dehghan, "Fully spectral collocation method for nonlinear parabolic partial integro-differential equations," Applied Numerical Mathematics, vol. 123, pp. 99-120, 2018.

Z. Taheri, S. Javadi and E. Babolian, "Numerical solution of stochastic fractional integro-differential equation by the spectral collocation method," Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 321, pp. 336-347, 2017.

E. Doha, A. Bhrawy and S. Ezz-Eldien, "Efficient Chebyshev spectral methods for solving multi-term fractional orders differential equations," Applied Mathematical Modelling, vol. 35, pp. 5662-5672, 2011.

S. Nemati, S. Sedaghat and I. Mohammadi, "A fast numerical algorithm based on the second kind Chebyshev polynomials for fractional integro-differential equations with weakly singular kernels," Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 308, pp. 231-242, 2016.

M. Sakran, "Numerical solutions of integral and integro-differential equations using Chebyshev polynomials of the third kind," Applied Mathematics and Computation, vol. 351, pp. 66-82, 2019.

K. Diethelm, The Analysis of fractional differetial equations, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2004.

A. Bhrawy and M. Zaky, "Shifted fractional-order Jacobi orthogonal functions: Application to a system of fractional differential equations," Applied Mathematical Modelling, vol. 40, pp. 832-845, 2016.

C. Canuto, M. Hossaini, A. Quarteroni and T. A. Zang, Spectral methods, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2006.

E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, New York: John Wiley & Sons, 1978.

D. Sh. Mohammed, Numerical solution of fractional integro-differential equations by least squares method and shifted Chebyshev polynomial, "Mathematical Problems in Engineering ", vol. 1, pp. 1-5, 2014.

H. D. Kasmaei, M. Senol, On the numerical solution of nonlinear fractional integro-differential equations, "New Trends in Mathematical Sciences ", vol.5, pp. 118-127, 2017.