ساختن روش‌های تفاضلات متناهی مبتنی بر توابع پایه شعاعی و استفاده از آنها برای حل معادلات دیفرانسیل با هندسه دلخواه

نویسندگان
فضل الله سلیمانی
مهدیار برفه ئی
چکیده
در این مقاله وزن فرمول­های تفاضلات متناهی را برای عملگرهای مشتق اول، مشتق دوم و عملگر لاپلاس با استفاده از توابع پایه شعاعی بدست خواهیم آورد. همچنین خطای برشی این فرمول ها را بر حسب فاصله نقاط و پارامتر شکل توابع شعاعی بدست می­آوریم. نشان می­دهیم برای هر فرمول تفاصلات متناهی مقداری از پارامتر شکل در توابع پایه شعاعی وجود دارد که به ازای آن خطا مینیمم خواهد بود. با بکار بردن این روش­ها برای معادلات با هندسه­های نامنظم نشان خواهیم داد بر خلاف روش­های تفاضلات متناهی استاندارد که برای گسسته­سازی معادلات با هندسه منظم بکار می­روند فرمول­های تفاضلات متناهی تولید شده به وسیله توابع پایه شعاعی این امکان را دارند تا به عنوان یک روش بدون شبکه برای حل مسایل با هندسه نامنظم بکار روند.
کلیدواژه‌ها
روش‌های بدون شبکه
توابع پایه شعاعی
فرمول‌های تفاضلات متناهی مبتنی بر توابع پایه شعاعی

عنوان مقاله English

Construction of the radial basis function finite difference methods and their application to problems with arbitrary domain

نویسندگان English

Fazlollah Soleymani
Mahdiar Barfeie
چکیده English

In this paper we, obtain the weight of radial basis finite difference formula for some differential operators. These weights are used to obtain the local truncation error in powers of the inter-node distance and the shape parameter of radial basis functions. We show that for each difference formula, there is a value of the shape parameter for which RBF-FD formulas are more accurate than the corresponding standard FD formulas. We apply these formulas for Poisson equation with irregular domains and show that the proposed method can be used as a fully meshfree methods.

کلیدواژه‌ها English

Meshfree methods
Radial basis function
Radial basis finite difference methods
1. Fasshauer G.E. (2007). Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co., Singapore.

2. Bayona, V., et al. (2010). RBF-FD formulas and convergence properties, Journal of Computational Physics, 229 (22), 8281-8295.

3. Golbabai, A. and Mohebianfar E. (2017). A new method for evaluating options based on multiquadric RBF-FD method, Applied Mathematics and Computation, 308, 130-141.

4. Davydov, O. and Dang T.O. (2011). On the optimal shape parameter for Gaussian radial basis function finite difference approximation of the Poisson equation, Computers & Mathematics with Applications, 62 (5), 2143-2161.

5. Flyer, N., Gregory A.B. and Louis J.W. (2016). Enhancing finite differences with radial basis functions: experiments on the Navier–Stokes equations, Journal of Computational Physics, 316, 39-62.

6. Barfeie, M., Soheili, A.R. and Arab Ameri M. (2013). Application of variational mesh generation approach for selecting centers of radial basis functions collocation method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 37(12), 1567-1575.

7. Bayona, V., Miguel M. and Manuel K. (2012). Gaussian RBF-FD weights and its corresponding local truncation errors, Engineering Analysis with Boundary Elements, 36(9), 1361-1369.

8. Bayona V., Moscoso M., Carretero M., Kindelan M. (2010). RBF-FD formulas and convergence properties, Journal of Computational Physics, 229(82), 81–95.

9. Soleymani, F., Barfeie M. and Khaksar Haghani F. (2018). Inverse multi-quadric RBF for computing the weights of FD method: Application to American options, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 64, 74-88.

10. Wright G.B., Fornberg B., (2006). Scattered node compact finite difference-type formulas generated from radial basis functions, Journal of Computational Physics, 212, 99-123.

11. Wang, J.G., and Liu G.R. (2002). On the optimal shape parameters of radial basis functions used for 2-D meshless methods, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191(23), 2611-2630.

12. S. Sabermahani, Y. Ordokhani, S.A. Yousefi, Numerical approach based on fractional-order Lagrange polynomials for solving a class of fractional differential equations, Comp. Appl. Math., 37 (2018), 3846-386

13. S. Sabermahani, Y. Ordokhani, S.‑A. Yousefi, Fractional‑order Fibonacci‑hybrid functions approach for solving fractional delay differential equations, Engineering with Computers, 36 (2020), 795-806.

14. S. Sabermahani, Y. Ordokhani, S.A. Yousefi, Fractional-order general Lagrange scaling functions and their applications, BIT Numerical Mathematics, 60 (2020), 101-128.

15. S. Sabermahani, Y. Ordokhani, S.A. Yousefi, Two-dimensional Müntz–Legendre hybrid functions: theory and applications for solving fractional-order partial differential equations, Computational and Applied Mathematics, 39 (2020), Art. ID: 111.