پایداری عددی در مجموع‌یابی مختلط

نویسندگان
حسن مجیدیان 1
مدینه فیروزی 2
امجد علی پناه 2
1 پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی، پژوهشکدۀ دانشنامه‌نگاری، گروه مطالعات میان‌رشته‌ای
2 دانشگاه کردستان، دانشکده علوم پایه، گروه ریاضی
10.52547/mmr.7.2.389
چکیده
عددهای حالت طبیعی و عملی، که محکی برای میزان خطای ناشی از پدیدۀ ازدست‌رفتن رقم‌های بامعنی در محاسبۀ مجموع عددهای مختلط است، معرفی می‌شوند. رابطه بین این دو عدد و اندازه آنها بررسی می‌شود. ثابت می‌شود که اگر عدد حالت عملی کوچک باشد، عدد حالت طبیعی نیز کوچک خواهد بود؛ و اگر عدد حالت طبیعی بزرگ باشد، عدد حالت عملی نیز بزرگ خواهد بود. نشان داده می‌شود که عدد حالت عملی برای مجموع‌یابی عددهایی که همگی در یکی از ربع‌های صفحه مختلط قرار دارند، برابر یک است. هم‌چنین یک کران بالا برای عدد حالت طبیعی، وقتی عددها در یک قطاع با زاویه نابیش‌تر از قرار دارند، ارائه می‌شود.

کلیدواژه‌ها
مجموع‌یابی مختلط
عدد حالت
پایداری عددی
ازدست‌رفتن رقم‌های بامعنی

عنوان مقاله English

Numerical Stability in Complex Summation

نویسندگان English

Hassan Majidian 1
Medina Firouzi 2
Amjad Alipanah 2
1 Department of Encyclopedia Researches, Institute for Humanities and Cultural Studies
2 Department of Mathematics, University of Kurdistan
چکیده English

The natural and practical condition numbers for summation of complex numbers are introduced. These numbers measure the effect of loss of significant digits on the round-off error when computing a sum in floating point arithmetic. The relationship between the natural and practical condition numbers and their size are studied. It is shown that the practical condition number is equal to one when all the summands lie in one of the quadrants of the complex plane. Also, an upper bound for the natural condition number is obtained when the summands lie in a sector with an angle less than or equal to pi/2../files/site1/files/72/16Abstract.pdf

کلیدواژه‌ها English

complex summation
condition number
numerical stability
cancellation
1. Bornemann F., "Accuracy and stability of computing high-order derivatives of analytic functions by Cauchy integrals", Found. Comput. Math., 11 (2011) 1-63.## 2. Higham N. J., "Accuracy and Stability of Numerical Algorithms", 2nd edn., SIAM (2002). ## 3. Higham N. J., "The accuracy of floating point summation", SIAM J. Sci. Comput., 14 (1993) 783-799. ## 4. Jeannerod C-P., Siegfried M. R., "On relative errors of floating-point operations: optimal bounds and applications", Math. Comput., 87 (2018) 803-819. ## 5. Lange M., Siegfried M. R., "Error estimates for the summation of real numbers with application to floating-point summation", BIT Numer. Math., 57 (2017) 927-941. ## 6. Ogita T., Rump S. M., Oishi S., "Accurate sum and dot product", SIAM J. Sci. Comput., 26 (2005) 1955-1988. ## 7. Pan V. Y., Murphy B., Qian G., Rosholt R. E., "A new error-free floating-point summation algorithm", Comput. Math. Appl., 57 (2009) 560-564. ## 8. Rudin W., "Real and Complex Analysis", 3rd edn., Mc Graw-Hill, New York (1987). ## 9. Rump S. M., "Ultimately fast accurate summation", SIAM J. Sci. Comput., 31 (2009) 3466-3502. ## 10. Zhu Y-K., Wayne B. H., "Algorithm 908: Online exact summation of floating-point streams", ACM Trans. Math. Softw., 37 (2010) 37. ## 11. Zhu Y-K., Wayne B.H., "Correct rounding and a hybrid approach to exact floating-point summation", SIAM J. Sci. Comput., 31 (2009) 2981-3001. ##
پژوهش های ریاضی
دوره 7، شماره 2 - شماره پیاپی 17
تابستان 1400
صفحه 389-396