حلقه‌های گروهی که در شرط اِنگِل تعمیم یافته صدق می‌کنند

نویسنده
مجتبی رمضان نسب
دانشگاه خوارزمی، دانشکدۀ علوم ریاضی و کامپیوتر
10.52547/mmr.6.1.57
چکیده
فرض کنیم حلقه‌ای جابه‌جایی و یکدار از مشخصه و یک گروه متناهی موضعی باشد. به‌ازای هر و در حلقه گروهی تعریف می‌کنیم و استفرایی . در این مقاله نشان می‌دهیم که شرط لازم و کافی برای آن‌که در شرط صدق کند آن است که: 1) اگر توانی از عددی اول مثل باشد، آن‌گاه گروهی پوچ‌توان موضعی و یک - گروه است، 2) اگر یا توانی از یک عدد اول نباشد، آن‌گاه آبلی است. در بخش دیگری از مقاله تعمیمی از گروه‌های اِنگِل ارائه می‌دهیم، سپس حکمی درمورد گروه یکه‌های جبرهای گروهی که در این شرط اِنگِل تعمیم یافته صدق می‌کنند بیان می‌کنیم.
کلیدواژه‌ها
حلقه‌های گروهی
گروه اِنگِل
حلقه‌های اِنگِل لی تعمیم یافته

عنوان مقاله English

Group Rings Satisfying Generalized Engel Conditions

نویسنده English

Mojtaba Ramezan-Nassab
Kharazmi University
چکیده English

Let R be a commutative ring with unity of characteristic r≥0 and G be a locally finite group. For each x and y in the group ring RG define [x,y]=xy-yx and inductively via [x ,_( n+1) y]=[[x ,_( n) y] , y]. In this paper we show that necessary and sufficient conditions for RG to satisfies [x^m(x,y) ,_( n(x,y)) y]=0 is: 1) if r is a power of a prime p, then G is a locally nilpotent group and G' is a p-group, 2) if r=0 or r is not a power of a prime, then G is abelian. In this paper, also, we define some generalized Engel conditions on groups, then we present a result about unit group of group algebras which satisfies this kind of generalized Engel conditions.

./files/site1/files/6.pdf

کلیدواژه‌ها English

group rings
Engel groups
generalized Lie Engel rings
1. Cohn P. M., "A non-nilpotent Lie ring satisfying the Engel condition and a non-nilpotent Engel group", Proc. Cambridge Philos. Soc., 51 (1955) 401-405.## 2. Gruenberg K. W., "The Engel structure of linear groups", J. Algebra, 3 (1966) 291-303. ## 3. Herstein I. N., "A commutativity theorem", J. Algebra, 38 (1976) 112-118. ## 4. Huzurbazar M. S., "The multiplicative group of a division ring", Soviet Math. Dokl., 1 (1960) 433-435. ## 5. Lam T. Y., "A First Course in Noncommutative Rings", Second Edition, Springer-Verlag, New. York (2001). ## 6. Lee G. T., "Group identities on units and symmetric units of group rings", Algebra and applications 12, Springer-Verlag, London (2010). ## 7. Ramezan-Nassab M., "Group algebras with Engel unit groups", J. Aust. Math. Soc., 101 (2016) 244-252. ## 8. Ramezan-Nassab M., "Group algebras with locally nilpotent unit groups", Comm. Algebra, 44 (2016) 604-612. ## 9. Ramezan-Nassab M., Kiani D., "Rings satisfying generalized Engel conditions, J. Algebra Appl., 11 (2012) 1250121 (8 pages). ## 10. Sehgal S. K., "Topics in Group Rings", Dekker, New York (1978). ##