چند نامساوی میانگین هندسی وزن دار عملگری

نویسندگان
عالمه شیخ حسینی 1
اسماء ایلخانی زاده منش 2
مریم خسروی 1
1 دانشگاه شهید باهنر کرمان
2 دانشگاه ولی عصر رفسنجان
10.29252/mmr.3.2.113
چکیده
در این مقاله، با استفاده از نامساوی توسعه یافته هولدر- مک کارتی، چندین نامساوی در زمینه میانگین هندسی α-وزن دار (0<α<1) دو عملگر مثبت بیان شده است. به ویژه ثابت شده است که اگر A,B,X,Y∈B(H) به طوری که A و B دو عملگر مثبت معکوس پذیر باشند، آنگاه به ازای هر r ≥1 ‖X^* (A⋕_α B)Y‖^r≤‖〖(X〗^* AX)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(Y〗^* AY)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(X〗^* BX)^r ‖^(α/2) ‖〖(Y〗^* BY)^r ‖^(α/2) و ‖X^* (A⋕_α B)X‖^r≤‖α(X^* BX)^r+(1-α)(X^* AX)^r ‖^ -Ω(X) که در آن Ω(X)=inf┬(‖x‖=1)⁡〖〖(√(<(X^* BX)^r x,x>^ )-√(<(X^* AX)^r x,x>^ ))〗^2 〗.min⁡{α^ ,(1-α)^ }.
کلیدواژه‌ها
نامساوی هولدر- مک کارتی
برد عددی
نرم عملگری
عملگر مثبت معکوس پذیر

عنوان مقاله English

Some weighted operator geometric mean inequalities

نویسندگان English

Alemeh Sheikhhosseini 1
Asma Ilkhanizadeh Manesh 2
Maryam Khosravi 1
1 Shahid Bahonar university of Kerman
2 Vali-e-asr university of Rafsanjan
چکیده English

In this paper, using the extended Holder- -McCarthy inequality, several inequalities involving the α-weighted geometric mean (0<α<1) of two positive operators are established. In particular, it is proved that if A,B,X,Y∈B(H) such that A and B are two positive invertible operators, then for all r ≥1, ‖X^* (A⋕_α B)Y‖^r≤‖〖(X〗^* AX)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(Y〗^* AY)^r ‖^((1-α)/2) ‖〖(X〗^* BX)^r ‖^(α/2) ‖〖(Y〗^* BY)^r ‖^(α/2), and ‖X^* (A⋕_α B)X‖^r≤‖α(X^* BX)^r+(1-α)(X^* AX)^r ‖^ -Ω(X) where Ω(X)=inf┬(‖x‖=1)⁡〖〖(√(<(X^* BX)^r x,x>^ )-√(<(X^* AX)^r x,x>^ ))〗^2 〗.min⁡{α^ ,(1-α)^ }../files/site1/files/0Abstract3.pdf

کلیدواژه‌ها English

Holder-McCarthy inequality
numerical range
operator norm
positive invertible operator
1. Ando T., Li C.-K., Mathias R., “Geometric means”, Linear Algebra Appl., 385(2004) 305-334.

2. Fujii J.I., Fujii M., Nakamura M., Pecaric J., Seo Y., “A reverse inequality for the weighted geometric mean due to Lawson-Lim”, Linear Algebra Appl., 427(2007) 272-284.

3. Furuta T., “Operator inequalities associated with Holder-McCarthy and Kantorovich inequalities”, J. Inequal. Appl., 2(1998) 137-148.

4. Gustafson K.E., Rao D. K.M, “Numerical Range: The Field of values of linear operators and matrices”, Springer- Verlag, New York, 1997.

5. Horn R. A., Johnson C.R., “Topics in Matrix Analysis”, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991.

6. Izumino S., Nakamura N., “Geometric means of positive operators II”, Sci. Math. Japon., 69(2009) 35-44.

7. Kim S., Lim Y., “A converse inequality of higher order weighted arithmetic and geometric means of positive definite operators”, Linear Alg. Appl., 426(2007) 490-496.

8. Kittaneh F., Manasrah Y., “Improved Young and Heinz inequalities for matrices”, J. Math. Anal. Appl.,361(2010) 262-269.

9. Kubo F., Ando T., “ Means of positive linear operators”, Math. Ann., 246 (1980) 205-224.

10. Lin C.S., Cho Y.J., “ On Holder-McCarthy-type inequalities with powers”, J. Koren. Math. Soc. 39, (2002) 351-361.

11. Manasrah Y., Kittaneh F., “ A generalization of two refined Young inequalities”, Positivity, 19 (2015) 757-786.

12. Sheikhhosseini A., “ A numerical radius version of the arithmetic-geometric mean of operators”, Filomat, to appear.

13. Yamazaki T., “ An extension of Kantorovich inequality to n-operators via the geometric mean by Ando-Li-Mathias”, Linear Algebra Appl., 416(2006) 688-695.